Nos aseguramos de tener las últimas actualizaciones:

sudo apt-get update

Instalamos lo necesario para compilar el DUC (Dinamic Update Client) de NO-IP

sudo apt-get install build-essential
sudo apt-get install make

Descargamos y compilamos e instalamos el DUC

Dentro de la ventana de la Terminal escriba lo siguiente. Después de cada entrada presionarás "Enter".

wget http://www.no-ip.com/client/linux/noip-duc-linux.tar.gz
tar vzxf noip-duc-linux.tar.gz

Luego navegue hasta el directorio que creó para ubicar los archivos descargados.

cd noip-2.1.9-1

Ahora instala el programa haciendo sudo

sudo make
sudo make install

Después de escribir "sudo make install", se le pedirá que inicie sesión con el nombre de usuario y la contraseña de su cuenta No-IP.

Ahora haremos que cada vez que inicie la raspberry ejecute nuevamente el programa DUC de No-IP:

Crearemos el archivo:

vi /etc/init.d/noip2

#! /bin/sh
# /etc/init.d/noip2.sh
# Supplied by no-ip.com
# Modified for Debian GNU/Linux by Eivind L. Rygge <eivind@rygge.org>
# corrected 1-17-2004 by Alex Docauer <alex@docauer.net>
# . /etc/rc.d/init.d/functions  # uncomment/modify for your killproc
DAEMON=/usr/local/bin/noip2
NAME=noip2
test -x $DAEMON || exit 0
case "$1" in
    start)
    echo -n "Starting dynamic address update: "
    start-stop-daemon --start --exec $DAEMON
    echo "noip2."
    ;;
    stop)
    echo -n "Shutting down dynamic address update:"
    start-stop-daemon --stop --oknodo --retry 30 --exec $DAEMON
    echo "noip2."
    ;;
    restart)
    echo -n "Restarting dynamic address update: "
    start-stop-daemon --stop --oknodo --retry 30 --exec $DAEMON
    start-stop-daemon --start --exec $DAEMON
    echo "noip2."
    ;;
    *)
    echo "Usage: $0 {start|stop|restart}"
    exit 1
esac
exit 0

Una vez escrito procederemos a indicarle a Linux que lo ejecute al arranque: 

sudo update-rc.d noip2 defaults 90